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प्रत्येक GPS उपग्रह, प्रत्येक कंप्यूटर एनिमेशन, कभी बना प्रत्येक पुल — सभी ज्या फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं। परंतु लगभग कोई नहीं जानता कि "sine" संस्कृत "ज्या" से आया है — एक 1,500 वर्ष की भ्रांत अनुवाद यात्रा जो तीन भाषाओं और तीन महाद्वीपों में फैली है।
"ज्या" या "जीवा" शब्द का शाब्दिक अर्थ है धनुष की प्रत्यंचा। एक वृत्त को धनुष की तरह कल्पना करें। उस पर एक जीवा (chord) खींचें — यही "ज्या" है। अब उस जीवा का आधा "अर्धज्या" है — आधी प्रत्यंचा। यही अर्धज्या आज हम sine कहते हैं। प्राचीन भारतीयों ने इस फ़ंक्शन को ऐसी ज्यामिति से परिभाषित किया जिसे वे देख और छू सकते थे: एक धनुर्धर का धनुष।
मूल संस्कृत श्लोक
ज्या = अर्धज्या = sin(θ)
"ज्या" = धनुष की प्रत्यंचा | "अर्ध" = आधा
आर्यभटीय (499 ई.) में 23 वर्षीय प्रतिभाशाली आर्यभट ने 3.75° अंतराल पर 24 ज्या मान दिए, 3.75° से 90° तक। उन्होंने इन्हें 225 के आधार पर एक संक्षिप्त स्मृतिसहायक श्लोक में एन्कोड किया — एक चतुर संपीड़न जिससे ज्योतिषी पूरी तालिका याद कर सकते थे। सटीकता आश्चर्यजनक है: 3-4 दशमलव स्थानों तक सही, खगोलीय नेविगेशन के लिए पर्याप्त।
मूल स्रोत
आर्यभटीय, गणितपाद, श्लोक १२
मखि भखि फखि धखि नखि नखि मखि फखि...
मूल स्रोत: आर्यभटीय, गणितपाद, श्लोक 12 — "मखि भखि फखि धखि नखि नखि..." — सभी 24 ज्या अंतरों का ध्वन्यात्मक कूट।
| कोण | आर्यभट (499 ई.) | आधुनिक मान | त्रुटि |
|---|---|---|---|
| 3.75° | 225 | 224.86 | 0.06% |
| 7.50° | 449 | 448.75 | 0.05% |
| 11.25° | 671 | 670.72 | 0.04% |
| 15.00° | 890 | 889.82 | 0.02% |
| 18.75° | 1105 | 1105.1 | 0.01% |
| 22.50° | 1315 | 1315.6 | 0.05% |
| 30.00° | 1719 | 1719.0 | 0.00% |
| 45.00° | 2431 | 2431.1 | 0.00% |
| 60.00° | 3438 | 3437.7 | 0.01% |
| 90.00° | 3438 | 3437.7 | 0.01% |
* मान R=3438 (चाप-मिनट त्रिज्या) के पैमाने पर
जब अरब गणितज्ञों ने भारतीय ग्रंथों का अनुवाद किया (~800 ई.), उन्होंने "जीवा" को "जिबा" के रूप में ध्वन्यात्मक रूप से लिप्यंतरित किया। चूँकि अरबी बिना स्वरों के लिखी जाती है, "जिबा" को बाद में "जैब" (جيب) पढ़ा गया — एक अरबी शब्द जिसका अर्थ है "मोड़, जेब, या वक्ष।" जब 12वीं सदी के यूरोपीय अनुवादक जेरार्ड ऑफ क्रेमोना ने इसे लैटिन में अनुवाद किया, उन्होंने "जैब" को "Sinus" — मोड़ या खाड़ी के लिए लैटिन शब्द — के रूप में प्रस्तुत किया। "Sinus" फिर अंग्रेजी "Sine" बन गया। एक शुद्ध नामकरण दुर्घटना। गणित हमेशा भारतीय था।
⚡ वह क्षण जब "जिबा" को गलती से "जैब" (जेब) पढ़ा गया — यह एक अनुचित स्वर जोड़ने की त्रुटि थी, जो अरबी लिपि की एक सीमा है। इस एक पढ़ने की गलती ने "sine" का नाम बदल दिया, लेकिन गणित वही रहा।
आर्यभट के मान, 499 ई. में गणित किए गए, IEEE 754 डबल-प्रिसिजन फ्लोटिंग पॉइंट के मुकाबले उल्लेखनीय रूप से सही हैं। सबसे खराब विचलन 0.2% से कम है। अधिकांश मानों के लिए त्रुटि 0.05% से कम — बिना कैलकुलेटर, बिना कंप्यूटर, और बिना किसी पूर्ववर्ती गणितीय परंपरा के हासिल।
आर्यभट ने ज्या पर ही नहीं रुके। उन्होंने एक पूर्ण प्रणाली परिभाषित की: कोज्या — पूरक-ज्या, हमारा cosine। उत्क्रमज्या — "उलटी ज्या," हमारा versine (1 − cosine)। ब्रह्मगुप्त (628 ई.) ने बाद में मध्यवर्ती कोणों पर ज्या की गणना के लिए प्रक्षेप सूत्र जोड़े — एक विधि जो न्यूटन के फॉरवर्ड-डिफरेंस फॉर्मूला के समकक्ष है, जो 1,000 वर्ष बाद पुनः खोजी गई।
इस ऐप में प्रत्येक गणना आर्यभट की त्रिकोणमिति से जुड़ती है। ग्रह देशान्तर गोलाकार और क्रांतिवृत्त निर्देशांकों के बीच रूपांतरण के लिए sine और cosine का उपयोग करते हैं। सूर्योदय और सूर्यास्त के समय की गणना के लिए sine नियम का उपयोग होता है। ग्रहण परिमाण गणना उत्क्रमज्या सूत्र का उपयोग करती है — आर्यभट का अपना योगदान। जब आप आज का पंचांग देखते हैं, तो आप आर्यभट का गणित वास्तविक समय में चलते देखते हैं।
गणित हमेशा भारतीय था। केवल नाम खो गया।