Loading...
Loading...
न्यूटन और लाइबनिज को 1660-1680 के दशक में कलनशास्त्र के आविष्कार का श्रेय दिया जाता है। लेकिन 250 वर्ष पहले, केरल के संगमग्राम नामक एक छोटे गाँव में, माधव नामक गणितज्ञ ने π, sine, cosine और arctangent के लिए अनंत श्रेणियाँ — कठोर प्रमाणों के साथ — पहले ही खोज ली थीं।
माधव (c. 1340-1425 CE) केरल के संगमग्राम गाँव (आधुनिक इरिंजलकुड़ा, त्रिशूर के निकट) के एक गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थे। उन्होंने वह परंपरा स्थापित की जिसे इतिहासकार अब "केरल गणित और खगोल विज्ञान का स्कूल" कहते हैं — एक परंपरा जिसने 200 वर्षों में प्रतिभाशाली गणितज्ञों की एक श्रृंखला उत्पन्न की। उनके प्रत्यक्ष कार्य पूरी तरह नहीं बचे हैं, लेकिन उनके परिणाम उनके छात्रों के बाद के ग्रंथों में उद्धृत और सिद्ध हैं।
श्रेणी π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − ... सार्वभौमिक रूप से "लाइबनिज फॉर्मूला फॉर π" (1676) के रूप में पढ़ाई जाती है। लेकिन माधव ने इसे लगभग 1375 CE में व्युत्पन्न किया — 300 वर्ष पहले। इससे भी उल्लेखनीय, माधव आगे गए: उन्होंने सुधार पद (correction terms) की गणना की जो श्रेणी को बहुत तेज़ी से अभिसरण (converge) करते हैं, त्रुटि को O(1/n) से O(1/n³) तक कम करते हैं। इस त्वरण तकनीक का यूरोपीय संस्करण 1995 तक प्रकाशित नहीं हुआ था।
माधव की π श्रेणी (~1375 CE)
π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − ...
पश्चिम में "लाइबनिज फॉर्मूला" कहा जाता है, 1676 CE
युक्तिभाषा (Yuktibhasha), ~1530 CE
स्रोत: युक्तिभाषा (ज्येष्ठदेव, ~1530 CE), अध्याय 6 — ज्यामितीय सीमा तर्कों का उपयोग करके π श्रेणी का पूर्ण प्रमाण।
Maclaurin श्रेणी sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ... का श्रेय ब्रुक टेलर (1715) और कॉलिन Maclaurin (1742) को दिया जाता है। माधव ने इस श्रेणी को लगभग 1400 CE में व्युत्पन्न किया — cosine श्रेणी और arctangent श्रेणी सहित। केरल ग्रंथों में न केवल परिणाम हैं बल्कि पूर्ण प्रमाण हैं — ज्यामितीय सीमाओं का उपयोग करके जो तार्किक रूप से अभिसरण के आधुनिक एप्सिलॉन-डेल्टा प्रमाणों के समकक्ष हैं।
| श्रेणी | भारत में | यूरोप में | अंतर |
|---|---|---|---|
π series π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... | Madhava c. 1375 CE | Leibniz 1676 CE | ~300 years |
Sine series sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ... | Madhava c. 1400 CE | Taylor / Maclaurin 1715–1742 CE | ~315–342 years |
Cosine series cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ... | Madhava c. 1400 CE | Taylor / Maclaurin 1715–1742 CE | ~315–342 years |
Arctangent series arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − ... | Madhava c. 1400 CE | James Gregory 1671 CE | ~271 years |
माधव की परंपरा विद्वानों की एक उल्लेखनीय श्रृंखला द्वारा आगे बढ़ाई गई। प्रत्येक ने पिछले पर निर्माण किया, गणित को और आगे बढ़ाया। अंतिम प्रमुख व्यक्ति, शंकर वारियर (~1556), ने टिप्पणियाँ उत्पन्न कीं जो अनंत श्रेणी अभिसरण और जिसे हम अब कलन विविधताओं का कलन कहते हैं, की गहरी समझ दर्शाती हैं।
क्या माधव के परिणाम न्यूटन से पहले यूरोप पहुँचे? इतिहासकारों ने आकर्षक परिस्थितिजन्य साक्ष्य पाए हैं: जेसुइट मिशनरी 1500 के दशक से केरल में व्यापक रूप से सक्रिय थे, उसी अवधि में जब केरल ग्रंथ लिखे जा रहे थे। कोचीन में जेसुइट कॉलेज में भारतीय पांडुलिपियों का पुस्तकालय था। मरीन मेर्सेन जैसे गणितज्ञों ने भारत के जेसुइट से पत्राचार किया। हालाँकि, कोई प्रत्यक्ष ठोस सबूत नहीं है। प्रश्न वास्तव में खुला रहता है। जो बहस योग्य नहीं है: खोज की प्राथमिकता भारतीय है।
संभावित संचरण साक्ष्य
जो निर्विवाद है
जब भी आप आज का पंचांग मांगते हैं, सर्वर श्रेणी सन्निकटन (series approximations) का उपयोग करके ग्रहीय देशान्तरों की sine और cosine की गणना करता है। ये सन्निकटन — त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए टेलर श्रेणी — सीधे माधव के कार्य से पता लगाते हैं। नीलकंठ-सोमयाजी ग्रहीय मॉडल (1501 CE) भी पृथ्वी से देखे गए बुध और शुक्र की गति का पहला सटीक मॉडल था जो सूर्य-केंद्रित कक्षाओं के रूप में — एक सही ज्यामितीय अंतर्दृष्टि जो केप्लर की दीर्घवृत्तों से 100 वर्ष पहले थी।
आंशिक सौर-केंद्रित ढाँचे के साथ संशोधित ग्रहीय मॉडल। बुध और शुक्र कक्षाओं का पहला सटीक मॉडल।
π और त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए अनंत श्रेणी के पूर्ण प्रमाण। एक स्थानीय भाषा में प्रमाण प्रदान करने वाला पहला गणित ग्रंथ।
अंतिम प्रमुख केरल ग्रंथ। 17 दशमलव स्थानों तक सटीक π की श्रेणी — आधुनिक कंप्यूटर से पहले गणित।