Loading...
Loading...
माधव की π, sine, cosine और arctangent के लिए अनन्त श्रेणी — सुधार पदों, हल किए गए उदाहरणों, और विश्व की पहली कलनशास्त्र पाठ्यपुस्तक की कहानी
1350 और 1550 ई. के बीच, केरल के एक छोटे गाँव में गणितज्ञों की एक वंश-परम्परा ने वह हासिल किया जो असम्भव लगता था। बिना छापाखाने, बिना विश्वविद्यालय, बिना अन्तर्राष्ट्रीय संचार के \u2014 उन्होंने अनन्त श्रेणियाँ खोजीं, \u03C0 का 11 दशमलव तक मान निकाला, और कलनशास्त्र की नींव रखी। यह सब न्यूटन और लाइबनिज से 250\u2013340 वर्ष पहले हुआ।
π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ...
इसका अर्थ: 1 जोड़ो, 1/3 घटाओ, 1/5 जोड़ो, 1/7 घटाओ... यह अनन्त तक चलता है। लेकिन कच्ची श्रेणी बहुत धीमी है \u2014 1,000 पदों के बाद भी केवल 2 सही दशमलव मिलते हैं।
माधव की प्रतिभा यह थी कि उन्होंने सुधार पद का आविष्कार किया। N पदों का योग करने के बाद एक सुधार कारक जोड़ने से \u2014 केवल 50 पदों से \u03C0 का 11 दशमलव तक सटीक मान मिलता है। यूरोप ने तुलनीय तकनीक ~400 वर्ष बाद विकसित की।
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
पश्चिम में इन्हें "Taylor/Maclaurin series" कहा जाता है (टेलर 1715, मैक्लॉरिन 1742)। माधव ने ~1400 ई. में \u2014 300+ वर्ष पहले \u2014 इन्हें व्युत्पन्न किया।
सत्यापन: sin(30\u00B0) = sin(\u03C0/6): पद 1 = 0.5236, पद 2 = \u22120.0239, पद 3 = +0.0003 \u2192 योग = 0.5000 \u2714 (केवल 3 पदों से पाँच-दशमलव सटीकता!)
arctan(x) = x \u2212 x\u00B3/3 + x\u2075/5 \u2212 ... श्रेणी में x = 1 रखने पर \u03C0/4 मिलता है, लेकिन बहुत धीमा। माधव ने x = 1/\u221A3 चुना, जिससे \u03C0/6 = arctan(1/\u221A3) मिलता है \u2014 और प्रत्येक पद तेज़ी से घटता है। इस चतुराई से कम पदों में उच्च सटीकता सम्भव हुई।